Question

10．已知数列{a_n}的前n项和S_n=2ⁿ⁺¹-2，数列{b_n}满足b_n=a_n+a_n+1（n∈N*）．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=log₂a_n（n∈N*），求数列{b_n•c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，已知首项后可得数列{a_n}的通项公式，代入b_n=a_n+a_n+1得数列{b_n}的通项公式；
（2）由c_n=log₂a_n求得数列{c_n}的通项公式，进一步得到数列{b_n•c_n}的通项公式，再由错位相减法求得数列{b_n•c_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）当n≥2时，则a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ⁺¹-2-2ⁿ+2=2ⁿ，
当n=1时，a₁=S₁=2²-2=4-2=2，满足a_n=2ⁿ，
故数列{a_n}的通项公式为a_n=2ⁿ，
∴b_n=a_n+a_n+1=2ⁿ+2ⁿ⁺¹=3•2ⁿ；
（2）c_n=log₂a_n=$lo{g}_{2}{2}^{n}=n$，
∴b_n•c_n=3n•2ⁿ．
令R_n=1•2¹+2•2²+3•2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
则2R_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴$-{R}_{n}=2+{2}^{2}+{2}^{3}+…+{2}^{n}-n•{2}^{n+1}$=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}-n•{2}^{n+1}$=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2．
∴${R}_{n}=（n-1）•{2}^{n+1}+2$．
则${T}_{n}=3{R}_{n}=3（n-1）•{2}^{n+1}+6$．

点评 本题考查由数列的前n项和求通项公式，训练了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．