Question

16．已知函数f（x）=$\frac{{{{（{x+1}）}^2}+ln（{\sqrt{1+9{x^2}}-3x}）cosx}}{{{x^2}+1}}$，且f（2017）=2016，则f（-2017）=（　　）

• A． -2014
• B． -2015
• C． -2016
• D． -2017

Answer 1

分析 推导出函数f（x）=1+$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$+$\frac{cosx[-ln（\sqrt{1+9{x}^{2}}+3x）]}{{x}^{2}+1}$，令h（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}+\frac{cosln（\sqrt{1+9{x}^{2}}-3x）}{{x}^{2}+1}$，则h（x）是奇函数，由此能求出结果．

解答 解：∵函数f（x）=$\frac{{{{（{x+1}）}^2}+ln（{\sqrt{1+9{x^2}}-3x}）cosx}}{{{x^2}+1}}$，
=1+$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$+$\frac{（ln\frac{1}{\sqrt{1+9{x}^{2}+3x}}）•cosx}{{x}^{2}+1}$
=1+$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$+$\frac{cosx[-ln（\sqrt{1+9{x}^{2}}+3x）]}{{x}^{2}+1}$，
令h（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}+\frac{cosln（\sqrt{1+9{x}^{2}}-3x）}{{x}^{2}+1}$，
则h（-x）=-$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$+$\frac{cosx[-ln（\sqrt{1+9{x}^{2}}-3x）]}{{x}^{2}+1}$=-h（x），
即h（x）是奇函数，
∵f（2017）=1+h（2017）=2016，∴h（2017）=2016-1=2015，
∴f（-2017）=1+h（-2017）=1-h（2017）=1-2015=-2014．
故选：A．

点评 本题考查函数的奇偶性、函数值求法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．