Question

15．在一次研究性学习中，老师给出函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=e^x（x+1）．甲、乙、丙、丁四位同学在研究此函数时给出下列结论：
①当x＞0时，f（x）=e^x（1-x）；
②f（x）=0有2个不相等实根；
③f（x）＞0的解集为（-1，0）∪（1，+∞）；
④函数f（x）在R为减函数，
其中正确结论的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根据f（x）为奇函数，可设x＞0，从而有-x＜0，从而可求出f（x）=e^-x（x-1），从而可看出-1，1，0都是f（x）的零点，这便得出①②错误，而由f（x）解析式便可解出f（x）＞0的解集，从而判断出③的正误，可分别对x＜0和x＞0时的f（x）求导数，根据导数符号可判断f（x）的单调性．

解答 解：对于①，f（x）为R上的奇函数，设x＞0，-x＜0，则：f（-x）=e^-x（-x+1）=-f（x）；
∴f（x）=e^-x（x-1），∴①错误；
对于②，∵f（-1）=0，f（1）=0；又f（0）=0；
∴f（x）有3个零点，∴②错误；
对于③，当x＜0时，f（x）=e^x（x+1）；∴-1＜x＜0时，f（x）＞0；
当x＞0时，f（x）=e^-x（x-1）；∴x＞1时，f（x）＞0；
∴f（x）＞0的解集为（-1，0）∪（1，+∞），∴③正确；
对于④，（1）x＜0时，f′（x）=e^x（x+2）；
∴x＜-2时，f′（x）＜0，-2＜x＜0时，f′（x）＞0；
∴f（x）在（-∞，-2上单调递减，在（-2，0）上单调递增；
∴④错．
故选：A

点评 考查奇函数的定义，对于奇函数，已知一区间上的解析式，求其对称区间上解析式的方法，函数零点的定义及求法，指数函数的值域，以及根据导数符号判断函数单调性，属于中档题．