Question

5．已知α∈（0，$\frac{π}{2}$），sin（$\frac{π}{6}$-α）=-$\frac{1}{3}$，则cosα的值为$\frac{2\sqrt{6}-1}{6}$．

Answer 1

分析 由已知求出$\frac{π}{6}$-α的范围，再由sin（$\frac{π}{6}$-α）=-$\frac{1}{3}$求得cos（$\frac{π}{6}$-α）=-$\frac{1}{3}$，由cosα=cos[$\frac{π}{6}-（\frac{π}{6}-α）$]，展开两角差的余弦得答案．

解答 解：∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），∴$\frac{π}{6}$-α∈（$-\frac{π}{3}，\frac{π}{6}$），
又sin（$\frac{π}{6}$-α）=-$\frac{1}{3}$，∴$\frac{π}{6}-α$∈（-$\frac{π}{3}，0$），则cos（$\frac{π}{6}-α$）=$\sqrt{1-（-\frac{1}{3}）^{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
则cosα=cos[$\frac{π}{6}-（\frac{π}{6}-α）$]=cos$\frac{π}{6}$cos（$\frac{π}{6}-α$）+sin$\frac{π}{6}$sin（$\frac{π}{6}-α$）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{2\sqrt{2}}{3}+\frac{1}{2}×（-\frac{1}{3}）$=$\frac{2\sqrt{6}-1}{6}$．

点评 本题考查三角函数的化简求值，考查了两角和与差的余弦，是基础的计算题．