Question

17．已知函数f（x）=cos2x的图象向左平移$φ（{0＜φ＜\frac{π}{2}}）$个单位后得到函数g（x）的图象，若使|f（x₁）-g（x₂）|=2成立x₁，x₂的满足${|{{x_1}-{x_2}}|_{min}}=\frac{π}{6}$，则φ的值为（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{5π}{12}$

Answer 1

分析 根据三角函数的图象变换关系求出g（x），结合|f（x₁）-g（x₂）|=2成立x₁，x₂的满足${|{{x_1}-{x_2}}|_{min}}=\frac{π}{6}$，建立方程关系进行求解即可．

解答 解：函数f（x）=cos2x的图象向左平移$φ（{0＜φ＜\frac{π}{2}}）$个单位后得到函数g（x）的图象，
则g（x）=cos2（x+φ）=cos（2x+2φ），
由|f（x₁）-g（x₂）|=2，得|cos2x₁-cos（2x₂+2φ）|=2，
则必有cos2x₁=1且cos（2x₂+2φ）=-1，或cos2x₁=-1，cos（2x₂+2φ）=1，
根据对称性不妨设cos2x₁=1且cos（2x₂+2φ）=-1，
则2x₁=2k₁π，2x₂+2φ=2k₂π+π，
即x₁=k₁π，x₂=$\frac{π}{2}$-φ+k₂π，
则x₁-x₂=（k₁-k₂）π+φ-$\frac{π}{2}$，
∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，${|{{x_1}-{x_2}}|_{min}}=\frac{π}{6}$，
∴|x₁-x₂|=|（k₁-k₂）π+φ-$\frac{π}{2}$|=|（k₂-k₁）π+$\frac{π}{2}$-φ|，
则当k₁=k₂时，$\frac{π}{2}$-φ=$\frac{π}{6}$，即φ=$\frac{π}{3}$，
故选：C．

点评 本题主要考查三角函数图象和性质的应用，根据条件求出g（x）的解析式，结合三角函数的图象和性质是解决本题的关键．