Question

15．公差不为零的等差数列{a_n}的首项为1，且a₂，a₅，a₁₄依次构成等比数列，则对一切正整数n，$\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}+\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}+…+\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$的值可能为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{3}{5}$
• C． $\frac{4}{9}$
• D． $\frac{5}{12}$

Answer 1

分析 利用等差数列、等比数列的性质，列式求出通项公式，再利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：设公差为d，∵a₂，a₅，a₁₄构成等比数列，∴a₅²=a₂•a₁₄，
即（1+4d）²=（1+d）•（1+13d），化简得d²-2d=0，
∵公差不为0，∴公差d=2．
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=a₁+（n-1）d=1+（n-1）×2=2n-1．
∵$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$
∴$\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}+\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}+…+\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$
=$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{5}-\frac{1}{7}$）+…+（$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$）]=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$$＜\frac{1}{2}$
当n=4时，$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）=\frac{4}{9}$，
故选：C

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题