题目内容

已知向量 $数学公式$ =（2 $数学公式$ ，0），O是坐标原点，动点 M 满足：| $数学公式$ + $数学公式$ |+| $数学公式$ - $数学公式$ |=6．
（1）求点 M 的轨迹 C 的方程；
（2）是否存在直线 l 过 D（0，2）与轨迹 C 交于 P、Q 两点，且以 PQ 为直径的圆过原点，若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由．

解：（1）设 B（-2 $\text{[math]}$ ，0）…（1分）
则| $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ |+| $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ |=| $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ |+| $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ |=| $\text{[math]}$ |+| $\text{[math]}$ |=6
∴M 的轨迹为以 A、B 为焦点，长轴长为 6 的椭圆
由c=2 $\text{[math]}$ ，2a=6?a=3?b=1 …（5分）
∴M 的轨迹 C的方程为 $\text{[math]}$ +y²=1 …（6分）
（2）设直线 l 的方程为 y=kx+2（k≠0且k存在），…（7分）
由 $\text{[math]}$ 得x²+9 （kx+2）²=9，
即（1+9k²） x²+36kx+27=0 …（8分）
∴△=（36k）²-4×27 （1+9k²）＞0
即 9k²-3＞0，∴k＜- $\text{[math]}$ 或k＞ $\text{[math]}$ （*）…（9分）
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
∴x₁+x₂=- $\text{[math]}$ ，x₁x₂= $\text{[math]}$ …（10分）
∵以 PQ 为直径的圆过原点，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=0
∴（1+k²） x₁ x₂+2k （x₁+x₂）+4=0
即 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +4=0
解得k=± $\text{[math]}$ 满足（*）
∴满足条件的直线 l 存在，
且直线 l 的方程为： $\text{[math]}$ x-3y+6=0或 $\text{[math]}$ x+3y-6=0 …（12分）
分析：（1）设 B（-2 $\text{[math]}$ ，0），则| $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ |+| $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ |=| $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ |+| $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ |=| $\text{[math]}$ |+| $\text{[math]}$ |=6，所以M 的轨迹为以 A、B 为焦点，长轴长为6的椭圆，由此能求出M的轨迹C的方程．
（2）设直线 l 的方程为 y=kx+2，由 $\text{[math]}$ 得（1+9k²） x²+36kx+27=0，再由根的判别式和韦达定理进行求解．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．