题目内容
已知函数g（x）=（
）x，
（1）求关于x的函数y=[g（x）]2-2ag（x）+3（a≤3），当x∈[-1，1]时的最小值h（a）；
（2）我们把同时满足下列两个性质的函数称为“和谐函数”：①函数在整个定义域上是单调增函数或单调减函数；②在函数的定义域内存在区间[p，q]（p＜q），使得函数在区间[p，q]上的值域为[p2，q2]．
（Ⅰ）判断（1）中h（x）是否为“和谐函数”？若是，求出p，q的值或关系式；若不是，请说明理由；
（Ⅱ）若关于x的函数y=
+t（x≥1）是“和谐函数”，求实数t的取值范围．
| 1 |
| 3 |
（1）求关于x的函数y=[g（x）]2-2ag（x）+3（a≤3），当x∈[-1，1]时的最小值h（a）；
（2）我们把同时满足下列两个性质的函数称为“和谐函数”：①函数在整个定义域上是单调增函数或单调减函数；②在函数的定义域内存在区间[p，q]（p＜q），使得函数在区间[p，q]上的值域为[p2，q2]．
（Ⅰ）判断（1）中h（x）是否为“和谐函数”？若是，求出p，q的值或关系式；若不是，请说明理由；
（Ⅱ）若关于x的函数y=
| x2-1 |
考点：指数函数的图像与性质,指数函数综合题
专题：函数的性质及应用
分析：（1）将f（x）看成关于x的方程，求出x，将x，y互换得到g（x）．
（2）通过换元，将函数转化为关于t的二次函数，求出对称轴，通过对对称轴与区间位置关系的讨论，求出最小值g（a）．
（Ⅰ）据和谐函数的定义，列出方程组，求出p，q满足的条件．
（Ⅱ）根据新定义，构造不等式组，解得即可
（2）通过换元，将函数转化为关于t的二次函数，求出对称轴，通过对对称轴与区间位置关系的讨论，求出最小值g（a）．
（Ⅰ）据和谐函数的定义，列出方程组，求出p，q满足的条件．
（Ⅱ）根据新定义，构造不等式组，解得即可
解答：
解：（1）由已知得：y-2a(
)x+3，（a≤3），当x∈[-1，1]
令t=（
）x，则t∈[
，3]，y=t2-2a+3，
1）当a＜
时，h（a）=y=（
）=
-
+3=
-
，
2）当
≤a≤3时，g（a）=y（a）=3-a2，
∴h（a）=
，
（2）（Ⅰ）对（2）中h（x）=
，易知g（x）在（-∞，3]上为减函数，
1）若p＜q＜
时，h（x）递减，若是“和谐函数”，
则
，
∴p+q=
与p＜q＜
矛盾；
2）若
≤p＜q≤3时，则
，即-p2+q2=q2-p2恒等．
此时满足题意，所以这样的p，q存在；
3）若p＜
，
≤q≤3，则
，即
，
∴28-6p=9（3-p2），
∴9p2-6p+1=0，
即p=
与p＜
矛盾，∴p，q满足：
（Ⅱ）∵y=
+t（x≥1），在[1，+∞）上单增，由“和谐函数”的定义知：该函数在定义域[1，+∞）内，存在区间[p，q]，（p＜q），
使得该函数在[p，q]，上的值域为[p2，q2]，所以p≥1，
，
∴p2，q2为方程
+t=x的二实根，
即方程x2-（2t+1）x+t2+1=0在[1，+∞）上存在两个不等的实根，且x≥t恒成立，
令u（x）=x2-（2t+1）x+t2+1，
∴
，
∴
，
解得
＜t≤1
∴实数t的取值范围（
，1]
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| 3 |
令t=（
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
1）当a＜
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| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 9 |
| 2a |
| 3 |
| 28 |
| 9 |
| 2a |
| 3 |
2）当
| 1 |
| 3 |
∴h（a）=
|
（2）（Ⅰ）对（2）中h（x）=
|
1）若p＜q＜
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| 3 |
则
|
∴p+q=
| 2 |
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2）若
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|
此时满足题意，所以这样的p，q存在；
3）若p＜
| 1 |
| 3 |
| 1 |
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∴28-6p=9（3-p2），
∴9p2-6p+1=0，
即p=
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| 1 |
| 3 |
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（Ⅱ）∵y=
| x2-1 |
使得该函数在[p，q]，上的值域为[p2，q2]，所以p≥1，
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∴p2，q2为方程
| x-1 |
即方程x2-（2t+1）x+t2+1=0在[1，+∞）上存在两个不等的实根，且x≥t恒成立，
令u（x）=x2-（2t+1）x+t2+1，
∴
|
∴
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解得
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| 4 |
∴实数t的取值范围（
| 3 |
| 4 |
点评：本题考查新定义题，关键是理解透题中的新定义，求分段函数的函数值关键是判断出自变量所属的范围，属于难题
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+
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| 3 |
| 2 |
| x2 |
| m-1 |
| y2 |
| 3-m |
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