Question

18．已知函数f（x）=x²-2ax+5（a＞1），g（x）=log₃x．若函数f（x）的定义域与值域均为[1，a]，且对于任意的x₁，x₂∈[1，a+1]，$|{f（{x_1}）-g（{x_2}）}|≤{4^t}+{2^t}$恒成立，则满足条件的实数t的取值范围是（　　）

• A． [-2，8]
• B． [0，8]
• C． [0，+∞）
• D． [0，8）

Answer 1

分析 根据二次函数的对称轴判断出函数单调性，得出a=f（1），求出a=2，
进而求出只需4^t+2^t-2≥0，得出答案．

解答 解：函数f（x）=x²-2ax+5（a＞1）的对称轴为x=a∈[1，a]
∴函数f（x）=x²-2ax+5（a＞1）在[1，a]上单调递减
∵函数f（x）的定义域和值域均为[1，a]
∴a=f（1）
∴a=2
∴f（x）=x²-4x+5，g（x）=log₃x．
∵对于任意的x₁，x₂∈[1，3]，1≤f（x）≤2，0≤g（x）≤1，
∴4^t+2^t-2≥0，
∴t≥0．
故选：C．

点评 考查了二次函数的性质和恒成立问题的转换．