Question

13．设函数f′（x）是偶函数f（x）（x∈R）的导函数，f（x）在区间（0，+∞）上的唯一零点为2，并且当x∈（-1，1）时，xf′（x）+f（x）＜0．则使得f（x）＜0成立的x的取值范围是（　　）

• A． （-2，0）∪（0，2）
• B． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• C． （-1，1）
• D． （-2，2）

Answer 1

分析 令g（x）=xf（x），判断出g（x）是R上的奇函数，根据函数的单调性以及奇偶性求出f（x）＜0的解集即可．

解答 解：令g（x）=xf（x），g′（x）=xf′（x）+f（x），
当x∈（-1，1）时，xf′（x）+f（x）＜0，
∴g（x）在（-1，1）递减，
而g（-x）=-xf（-x）=-xf（x）=-g（x），
∴g（x）在R是奇函数，
∵f（x）在区间（0，+∞）上的唯一零点为2，
即g（x）在区间（0，+∞）上的唯一零点为2，
∴g（x）在（-∞，-1）递增，在（-1，1）递减，在（1，+∞）递增，
g（0）=0，g（2）=0，g（-2）=0，
如图示：，
x≥0时，f（x）＜0，即xf（x）＜0，由图象得：0≤x＜2，
x＜0时，f（x）＜0，即xf（x）＞0，由图象得：-2＜x＜0，
综上：x∈（-2，2），
故选：D．

点评 本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查导数的应用，构造函数g（x）=xf（x）是解题的关键，本题是一道中档题．