Question

20．已知向量$\overrightarrow a$=（{cosx，-$\sqrt{3}$cosx），$\overrightarrow b$=（cosx，sinx），函数f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$+1．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若f（θ）=$\frac{5}{6}$，$θ∈（\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}），求sin2θ$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$+1．求解f（x）的解析式，化解为y=Acos（ωx+φ）的形式，将内层函数看作整体，放到余弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；
（Ⅱ）根据f（θ）=$\frac{5}{6}$建立关系，利用构造思想，根据和与差的公式计算．

解答 解：（Ⅰ）由题意函数f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$+1．
可得：f（x）=cos²x-$\sqrt{3}$sinxcosx+1=$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{3}{2}$
=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{3}{2}$，
令$π+2kπ≤2x+\frac{π}{3}≤2kπ+2π$，可得$kπ+\frac{π}{3}$≤x≤$\frac{5π}{6}+kπ$，k∈Z．
∴函数f（x）的单调递增区间为[$kπ+\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}+kπ$]，k∈Z．
（Ⅱ）由f（θ）=$\frac{5}{6}$，即cos（2θ+$\frac{π}{3}$）+$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{6}$，
可得：cos（2θ+$\frac{π}{3}$）=$-\frac{2}{3}$，
∵θ∈[$\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}$]，
∴2θ+$\frac{π}{3}$∈[π，$\frac{5π}{3}$]，
∴sin（2θ+$\frac{π}{3}$）=$-\frac{\sqrt{5}}{3}$，
那么：sin2θ=sin[（2θ$+\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{3}$]=sin（2θ+$\frac{π}{3}$）cos$\frac{π}{3}$-cos（2θ+$\frac{π}{3}$）sin$\frac{π}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{5}}{6}$．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．