Question

如图，正方形ABCD中，M为AB的中点，MN⊥DM，BN平方∠CBE，求证：MD=MN

Answer 1

考点：综合法与分析法(选修）

专题：推理和证明

分析：不妨设正方形的边长为2，设AD上的中点为F，连接MF，依题意，要证明MD=MN，只需证明：△MFD≌△MBN即可，利用判断三角形全等的定理（ASA）即可证得．

解答： 解：不妨设正方形的边长为2，设AD上的中点为F，连接MF，

在△MFD与△MBN中，依题意，得：DF=MB=1①；
由于MN⊥DM，故∠DMN=90°，故∠DMA+∠NMB=90°，又∠DMA+∠MDF=90°，
所以，∠MDF=∠NMB②；
又△AMF为等腰直角三角形，故∠DFM=135°，BN平方∠CBE，∠MBN=135°③；
由①②③得：△MFD≌△MBN，
所以MD=MN．

点评：本题考查综合法证明不等式，证明：△MFD≌△MBN是关键，着重考查全等三角形的证明及分析、推理的能力，属于中档题．