Question

已知圆O：x²+y²=4，直线l：kx-y-k-1=0
（1）判断直线l和圆O的位置关系．
（2）求圆心到直线l的距离的最大值．
（3）如图所示，圆O与y轴的正方向交于A点，点B在直线y=2上运动，过B做圆O的切线，切点为C，求△ABC垂心H的轨迹．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：（1）判断直线l过定点（1，1），根据点与圆的关系，即可判断直线l和圆O的位置关系．
（2）根据圆心到直线的距离公式即可求圆心到直线l的距离的最大值．
（3）设垂心的坐标，根据条件，建立方程关系，即可求出H的轨迹方程．

解答： 解：（1）∵kx-y-k-1=0
∴y=k（x-1）-1
∴直线l经过定点P（1，-1），
又∵（1，-1）在圆的内部
∴直线l与圆O相交．
（2）由（1）知圆心到直线l的最大距离为|OP|=

2

．
（3）设H（x，y），C（x′，y′），连结AH，CH，
则AH⊥BC，CH⊥AB，BC是切线OC⊥BC，
∴OC∥AH，CH∥OA，OA=OC，
∴四边形AOCH是菱形．
∴|CH|=|OA|=2，得

y′=y-2 x′=x

，
又C（x′，y′），满足x′²+y′²=4，
所以x²+（y-2）²=4，（x≠0）即是所求轨迹方程．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的判断和应用，以及轨迹的求解吗，考查学生的计算能力．