Question

已知直线y=-

1

2

x+2和椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）相交于A、B两点，M为线段AB的中点，若|AB|=2

5

，直线OM的斜率为

1

2

，求椭圆的方程．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用点差法，结合M为线段AB的中点，|AB|=2

5

，直线OM的斜率为

1

2

，求出几何量，即可求椭圆的方程．

解答： 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀）．
则A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入方程并相减得：

y2-y1

x2-x1

=-

b2

a2

•

x1+x2

y1+y2

．
∴k_AB=-

b2

a2

•

x0

y0

=-

1

2

．③
又k_OM=

x0

y0

=

1

2

，④
由③④得a²=4b²．
由直线y=-

1

2

x+2和椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）得：x²-4x+8-2b²=0，
∴x₁+x₂=4，x₁•x₂=8-2b²．
∴|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

5

2

8b2-16

=2

5

．
解得：b²=4．
故所求椭圆方程为：

x2

16

+

y2

4

=1．

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查点差法的运用，属于中档题．