Question

8．已知数列{a_n}，观察程序框图，若k=5，k=10时，分别有S=25，S=100．
（1）试求数列{a_n}的通项；
（2）令${b_n}=n{2^{a_n}}$，求{b_n}的前n项和T_n的值．

Answer 1

分析 （1）由框图可知{a_n}为等差数列，设其公差为d，S_n为{a_n}前n项和，${S_n}=n{a_1}+\frac{n（n-1）d}{2}$，由题意可得$\left\{\begin{array}{l}5{a_1}+10d=25\\ 10{a_1}+45d=100\end{array}\right.$，解得a₁，d，即可得通项．
（2）根据（1）的结论，得到${b_n}=n{2^{2n-1}}$，可求等边数列前n项和T_n的值．

解答 解：（1）由框图可知{a_n}为等差数列，设其公差为d，S_n为{a_n}前n项和，${S_n}=n{a_1}+\frac{n（n-1）d}{2}$，
由题意得当k=5，k=10时，分别有S=25，S=100，…（3分）
所以$\left\{\begin{array}{l}5{a_1}+10d=25\\ 10{a_1}+45d=100\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=1\\ d=2\end{array}\right.$，
所以a_n=a₁+（n-1）d=2n-1…（6分）
（2）由（1）可得：b_n=n2^2n-1，…（7分），
T_n=1×2+2×2³+3×2⁵+…n×2^2n-1…（1），
4T_n=1×2³+2×2⁵+…3×2^2n-1+n×2^2n-1…（2）…（8分）
（1）-（2）得：
-3T_n=2¹+2³+2⁵+…+2^2n-1-n×2²ⁿ⁺¹
$\begin{array}{l}{\;}=\end{array}\frac{{2（1-{4^n}）}}{1-4}-n{2^{2n+1}}$
$\begin{array}{l}{\;}=\end{array}\frac{2}{3}（{4^n}-1）-2n{4^n}$．
∴${T_n}=\frac{{2（3n-1）{4^n}+2}}{9}$．

点评 本题考查程序框图，数列的概念及简单表示方法，数列的求和，通过对知识的熟练把握，分别进行求值，属于中档题．