Question

17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知acosB=bcosA，边BC上的中线长为4．
（Ⅰ）若$A=\frac{π}{6}$，求c；
（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 由acosB=bcosA及正弦定理得sinAcosB=sinBcosA，解得sin（A-B）=0，可得$B=A=\frac{π}{6}$，解得$c=\sqrt{3}a$，由余弦定理即可解得c的值．
（Ⅱ） 由A=B知c=2acosA，利用余弦定理可解得${a^2}=\frac{64}{{1+8{{cos}^2}A}}$，由三角形面积公式可求$S=\frac{1}{2}acsinA=\frac{64sinAcosA}{{{{sin}^2}A+9{{cos}^2}A}}$，由基本不等式得$S≤\frac{32}{3}$，从而得解．

解答 （本题满分为14分）
解：（Ⅰ） 由acosB=bcosA及正弦定理得sinAcosB=sinBcosA，…（1分）
所以sin（A-B）=0，
故$B=A=\frac{π}{6}$，…（3分）
所以$c=\sqrt{3}a$，由余弦定理得$16={c^2}+{（\frac{a}{2}）^2}-2c•\frac{a}{2}cos\frac{π}{6}$，
解得$c=\frac{{8\sqrt{21}}}{7}$…（6分）
（Ⅱ） 由A=B知c=2acosA，及$16={c^2}+{（\frac{a}{2}）^2}-2c•\frac{a}{2}cosA$，解得${a^2}=\frac{64}{{1+8{{cos}^2}A}}$…（8分）

所以△ABC的面积$S=\frac{1}{2}acsinA=\frac{64sinAcosA}{{{{sin}^2}A+9{{cos}^2}A}}$…（10分）

由基本不等式得$S≤\frac{32}{3}$，…（13分）

当且仅当sinA=3cosA时，等号成立．
所以△ABC面积的最大值为$\frac{32}{3}$．…（14分）

点评 本题主要考查三角函数及其变换、正弦和余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力，属于中档题．