Question

12．在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=2，BC=1，AC=$\sqrt{3}$，AC⊥BC．
（1）求点B到平面PAC的距离；
（2）求异面直线PA与BC所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，过C作平面ABC的垂直为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点B到平面PAC的距离．
（2）求出$\overrightarrow{PA}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BC}$=（0，-1，0），利用向量法能求出异面直线PA与BC所成角的余弦值．

解答 解：（1）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，过C作平面ABC的垂直为z轴，建立空间直角坐标系，
过P作平面ABC的垂线PD，交AB于D，由题意D是AB中点，
A（$\sqrt{3}$，0，0），B（0，1，0），D（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），P（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\sqrt{3}$），C（0，0，0），
$\overrightarrow{CA}$=（$\sqrt{3}$，0，0），$\overrightarrow{CD}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），$\overrightarrow{CP}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{CB}$=（0，1，0），
设平面PAC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CA}=\sqrt{3}x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CP}=\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取y=2$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（0，2$\sqrt{3}$，-1），
∴点B到平面PAC的距离d=$\frac{|\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}}$=$\frac{2\sqrt{39}}{13}$．
（2）$\overrightarrow{PA}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BC}$=（0，-1，0），
设异面直线PA与BC所成角为θ，cosθ=$\frac{|\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{BC}|}{|\overrightarrow{PA}|•|\overrightarrow{BC}|}$=$\frac{|\frac{1}{2}|}{\sqrt{4}•1}$=$\frac{1}{4}$．
∴异面直线PA与BC所成角的余弦值为$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查点到平面的距离的求法，考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．