Question

14．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2f（x-2），x∈（1，+∞）}\\{1-|x|，x∈[-1，1]}\end{array}\right.$，若关于x的方程f（x）-log_a（x+1）=0（a＞0且a≠1）在区间[0，5]内恰有5个不同的根，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （1，$\sqrt{3}$）
• B． （$\root{4}{5}$，+∞）
• C． （$\sqrt{3}$，+∞）
• D． （$\root{4}{5}$，$\sqrt{3}$）

Answer 1

分析 画出函数的图象，利用数形结合，推出不等式，即可得到结果．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2f（x-2），x∈（1，+∞）}\\{1-|x|，x∈[-1，1]}\end{array}\right.$，x在区间[-1，5]上的图象如图：
关于x的方程f（x）-log_a（x+1）=0（a＞0且a≠1）在区间[0，5]内恰有5个不同的根，就是f（x）=log_a（x+1）恰有5个不同的根，
函数y=f（x）与函数y=log_a（x+1）恰有5个不同的交点，
由图象可得：$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}3＜2}\\{lo{g}_{a}5＜4}\end{array}\right.$，解得a$＞\sqrt{3}$．
故选：C．

点评 本题考查函数零点个数的判断，考查数形结合，分析问题解决问题的能力．