Question

6．各项均为实数的等比数列{a_n}，前n项和为S_n，若S₁₀=1，S₃₀=7，则S₄₀=15．

Answer 1

分析 设等比数列{a_n}的公比为q≠1，由S₁₀=1，S₃₀=7，可得$\frac{{a}_{1}（{q}^{10}-1）}{q-1}$=1，$\frac{{a}_{1}（{q}^{30}-1）}{q-1}$=7，解得q¹⁰=2，$\frac{{a}_{1}}{q-1}$=1．再利用求和公式即可得出．

解答 解：设等比数列{a_n}的公比为q≠1，∵S₁₀=1，S₃₀=7，
∴$\frac{{a}_{1}（{q}^{10}-1）}{q-1}$=1，$\frac{{a}_{1}（{q}^{30}-1）}{q-1}$=7，
化为：q²⁰+q¹⁰-6=0，解得q¹⁰=2，∴$\frac{{a}_{1}}{q-1}$=1．
则S₄₀=$\frac{{a}_{1}（{q}^{40}-1）}{q-1}$=2⁴-1=15．
故答案为：15．

点评 本题考查了等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．