Question

4．已知函数f（x）=x²+lnx-ax．
（1）当a=3时，求f（x）的单调增区间；
（2）若f（x）在（0，1）上是增函数，求a得取值范围．

Answer 1

分析 （1）求单调增区间，先求导，令导函数大于等于0即可；
（2）已知f（x）在区间（0，1）上是增函数，即f′（x）≥0在区间（0，1）上恒成立，然后用分离参数求最值即可．

解答 解：（1）当a=3时，f（x）=x²+lnx-3x；
∴f′（x）=2x+$\frac{1}{x}$-3，由f′（x）＞0得，0＜x＜$\frac{1}{2}$或x＞1，
故所求f（x）的单调增区间为（0，$\frac{1}{2}$），（1，+∞）；
（2）f′（x）=2x+$\frac{1}{x}$-a，
∵f（x）在（0，1）上是增函数，
∴2x+$\frac{1}{x}$-a＞0在（0，1）上恒成立，即a＜2x+$\frac{1}{x}$恒成立，
∵2x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{2}$（当且仅当x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时取等号）
所以a＜2$\sqrt{2}$，
当a=2$\sqrt{2}$时，易知f（x）在（0，1）上也是增函数，
所以a≤2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性和二次函数在定区间上的最值问题，体现了分类讨论和转化的思想方法，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力．