Question

13．在平面直角坐标系中，已知A（3，4），B（5，-12），O为坐标原点，∠AOB的平分线交线段AB于点D，则点D的坐标为（$\frac{32}{9}，-\frac{4}{9}$）．

Answer 1

分析 先求出AO，BO直线的斜率，利用夹角公式求出DO的斜率，设出DO的直线方程与AB直线方程求解，得到D坐标．

解答 解：已知A（3，4），B（5，-12），O为坐标原点，AB的直线方程为：8x+y-28=0
∴k${\;}_{OA}=\frac{4}{3}$，${k}_{OB}=-\frac{12}{5}$，
设DO的直线方程斜率为k_OD
∵点D在∠AOB的平分线上，
∴∠AOD=∠DOB
利用夹角公式，可得：$|\frac{{k}_{OD}-{k}_{OB}}{1+{k}_{OD}{k}_{OB}}|=|\frac{{k}_{OA}-{k}_{OD}}{1+{k}_{OD}{k}_{OD}}|$
⇒$|\frac{{k}_{OD+\frac{12}{5}}}{1-\frac{12}{5}{k}_{OD}}|=|\frac{\frac{4}{3}-{k}_{OD}}{1+\frac{4}{3}{k}_{OD}}|$
解得：${k}_{OD}=-\frac{1}{8}$
那么：DO的直线方程为：y=$-\frac{1}{8}x$
D是直线AB与OD的交点：
联立：$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{8}}\\{8x+y-28=0}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{32}{9}}\\{y=-\frac{4}{9}}\end{array}\right.$
故答案为：$（\frac{32}{9}，-\frac{4}{9}）$．

点评 本题考查了直线方程的求法及交点，直线的斜率，夹角问题，属于基础题．