Question

5．已知函数f（x）=（x-a）²（x-b）（a，b∈R，a＜b）．
（1）当a=1，b=2时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）设x₁，x₂是f（x）的两个极值点，x₃是f（x）的一个零点，且x₃≠x₁，x₃≠x₂．证明：存在实数x₄，使得x₁，x₂，x₃，x₄按某种顺序排列后构成等差数列，并求x₄．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f（2），f′（2），求出切线方程即可；（2）求出函数f（x）的极值点，根据等差数列的性质求出x₄即可．

解答 解：（1）当a=1，b=2时，因为f′（x）=（x-1）（3x-5），
故f′（2）=1，又f（2）=0，
所以f（x）在点（2，0）处的切线方程为y=x-2．
（2）证明：因为f′（x）=3（x-a）（x-$\frac{a+2b}{3}$），
由于a＜b，故a＜$\frac{a+2b}{3}$，
所以f（x）的两个极值点为x=a或x=$\frac{a+2b}{3}$，
不妨设x₁=a，x₂=$\frac{a+2b}{3}$，
因为x₃≠x₁，x₃≠x₂，且x₃是f（x）的零点，故x₃=b，
又因为$\frac{a+2b}{3}$-a=2（b-$\frac{a+2b}{3}$），x₄=$\frac{1}{2}$（a+$\frac{a+2b}{3}$）=$\frac{2a+b}{3}$，
此时a，$\frac{2a+b}{3}$，$\frac{a+2b}{3}$，b依次成等差数列，
所以存在实数x₄满足题意，且x₄=$\frac{2a+b}{3}$．

点评 本题考查了切线方程问题，考查导数的应用以及等差数列的性质，是一道中档题．