Question

10．已知函数 f（x）满足f（x+1）=x²-$\frac{1}{3}$f（3）．
（1）求f（x）解析式；
（2）当x∈（-2，-$\frac{1}{2}$）时，不等式f（a）+4a＜（a+2）f（x²）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（3），通过换元求出函数的解析式即可；（2）通过讨论a的范围，结合二次函数的性质确定a的范围即可．

解答 解：（1）令x=2，得$f（3）=4-\frac{1}{3}f（3）$，∴f（3）=3，
令x+1=t，则x=t-1，∴f（t）=（t-1）²-1=t²-2t，
∴f（x）=x²-2x．
（2）由（1）知f（a）=a²-2a，即为a²+2a＜（a+2）f（x²）．
当a+2=0时，a²+2a＜（a+2）f（x²），即为a＜0，不合题意．
当a+2＞0时，a²+2a＜（a+2）f（x²）可转化为a＜f（x²）=（x²-1）²-1．
∵$x∈（-2，-\frac{1}{2}）$，∴${x^2}∈（\frac{1}{4}，4）$，
∵f（x²）=（x²-1）²-1，∴当x²=1即x=-1时，f（x²）取得最小值-1．
∴a＜-1，∵a+2＞0，∴-2＜a＜-1．
当a+2＜0时，a²+2a＜（a+2）f（x²）可转化为a＞f（x²）．
∵当$x∈（-2，-\frac{1}{2}）$时，f（x²）＜8，∴a≥8，又a＜-2，∴不合题意．
综上，a的取值范围为（-2，-1）．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查分类讨论思想，是一道中档题．