题目内容

20．（x-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）n的展开式中，所有二项式系数之和为512，则展开式中x3的系数为126（用数字作答）．

分析 先由条件求得n=9，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得展开式中x3的系数．

解答 解：由题意2n=512，则n=9，通项公式为Tr+1=${C}_{9}^{r}$•（-1）r•${x}^{9-\frac{3}{2}r}$，
令9-$\frac{3}{2}$r=3，求得r=4，可得该展开式中x3的系数${C}_{9}^{4}$=126，
故答案为：126．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．

练习册系列答案
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10．已知函数f（x）=2|x+1|+|x-2|的最小值为m．
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）若a，b，c均为正实数，且满足a+b+c=m，求证：$\frac{{b}^{2}}{a}$+$\frac{{c}^{2}}{b}$+$\frac{{a}^{2}}{c}$≥3．
11．已知P为矩形ABCD所在平面内一点，AB=4，AD=3，$PA=\sqrt{5}$，$PC=2\sqrt{5}$，则$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PD}$=（　　）
A．-5B．-5或0C．0D．5
8．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，数列{an}满足Sn=$\frac{{{a}_{n}}^{2}+{a}_{n}}{2}$．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}满足bn=$\frac{1}{（{a}_{n}+2）^{2}}$，它的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n，都有Tn＜$\frac{1}{2}$成立．
15．已知f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，g（x）=$\frac{lnx}{x}$，其中e是自然对数的底数，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，f（x）＞g（x）+$\frac{1}{2}$；
（Ⅲ）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
5．若实数a，b，c，d满足$\frac{2{a}^{2}-lna}{b}$=$\frac{3c-2}{d}$=1，则（a-c）2+（b-d）2的最小值为$\frac{1}{10}$．
12．在区间[0，π]上随机取一个x，则y=sinx的值在0到$\frac{1}{2}$之间的概率为（　　）
A．$\frac{1}{6}$B．$\frac{1}{3}$C．$\frac{1}{2}$D．$\frac{2}{π}$
10．在斜三角形ABC中，求证：tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC．
11．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足f′（x）+2f（x）=$\frac{lnx+\frac{1}{2}}{{e}^{2x}}$，且f（1）=$\frac{1}{{4e}^{2}}$，则不等式f（lnx）＞f（3）的解集为（　　）
A．（-∞，e3）B．（0，e3）C．（1，e3）D．（e3，+∞）

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