Question

（2012•赣州模拟）函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），若a+b+c=0，导函数f′（x）满足f′（0）f′（1）＞0，设f′（x）=0的两根为x1，x2，则|x1﹣x2|的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

A

【解析】

试题分析：先求出f′（x）=3ax2+2bx+c，可得 ==++，由f′0）•f′（1）＞0，

解得﹣2＜＜﹣1，利用二次函数的性质求出的范围，即可求得|x1﹣x2|的取值范围．

【解析】
由题意得：f′（x）=3ax2+2bx+c，∵x1，x2是方程f′（x）=0的两个根，

∴x1+x2=﹣，x1•x2=．∴|x1﹣x2|2 =﹣4x1x2 ，

∴=﹣4x1•x2 =．

∵a+b+c=0，∴c=﹣a﹣b，

∴==++．

∵f′0）•f′（1）＞0，f（0）=c=﹣（a+b），且f′（1）=3a+2b+c=2a+b，∴（a+b）（2a+b）＜0，

即2a2+3ab+b2＜0，∵a≠0，两边同除以a2得：+3 +2＜0，解得﹣2＜＜﹣1．

由二次函数的性质可得，当=﹣时，有最小值为 ，

当趋于﹣1时， 趋于 ，故 ∈，

故|x1﹣x2|∈，

故选A．