Question

如图，一个半径为1的球O放在桌面上，桌面上的一点A1的正上方有一光源A，AA1与球相切，AA1=3，球在桌面上的投影是一个椭圆C，记椭圆C的四个顶点分别为A1、A2、B1、B2．则对于下列的命题：

①若点P为椭圆C上的一个动点，则tan∠OAP=；

②椭圆C的长轴长为4；

③若沿直线B1B2的方向为主视方向，则几何体A﹣A1B1A2B2的左视图的面积为3；

④椭圆C的离心率为

其中真命题的序号为 ．（写出所有真命题的序号）

Answer 1

①②④

【解析】

试题分析：根据题意作出过圆锥的轴与椭圆长轴AA1的截面，根据圆锥曲线的定义，可得球与长轴A1A2的切点是椭圆的焦点F，运用切线长定理，求出AE，AD，即可判断①；②由二倍角的正切公式，以及正切函数的定义，即可得到长轴长；求出a，c，b，即可得到几何体A﹣A1B1A2B2的左视图的面积为×3×2=3，即可判断③；由椭圆的离心率公式，即可判断④．

解如图是过锥体的轴与椭圆长轴A1A2的截面，根据圆锥曲线的定义，

可得球与长轴A1A2的切点是椭圆的焦点F，OE=OF=1，A1E=A1F=1，AA1=3，

AE=2，AD=2，

对于①，tan∠OAP=tan∠OAD==，故①对；

对于②，tan∠A1AA2=tan2∠OAD==，

A1A2=AA1•tan∠A1AA2=3×=4，故②对；

对于③由于2a=4，a=2，a﹣c=1，c=1，b2=a2﹣c2=3，b=，

若沿直线B1B2的方向为主视方向，则几何体A﹣A1B1A2B2的左视图的面积为×3×2=3，故③错；

对于④椭圆C的离心率为e==，故④对．

故答案为：①②④．