Question

7．如图所示，?ABCD中，E、F分别是BC、DC的中点，BF与DE交于点G，设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{b}$．
（1）用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示$\overrightarrow{DE}$；
（2）试用向量方法证明：A、G、C三点共线．

Answer 1

分析 （1）根据向量加法及数乘的几何意义便可表示出$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$；
（2）根据D，G，E三点共线便可得到$\overrightarrow{DG}=λ\overrightarrow{DE}$，从而可得到$\overrightarrow{CG}=（1-λ）\overrightarrow{CD}+\frac{λ}{2}\overrightarrow{CB}$，而同理由B，G，F三点共线可得$\overrightarrow{CG}=（1-μ）\overrightarrow{CB}+\frac{μ}{2}\overrightarrow{CD}$，这样由平面向量基本定理即可建立关于λ，μ的方程组，从而可解出λ=u=$\frac{2}{3}$，从而可求出$\overrightarrow{CG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{AG}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{CA}$，从而得出$\overrightarrow{CG}，\overrightarrow{AG}$共线，从而得出A，G，C三点共线．

解答 （1）解：$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$；
（2）证明：如图，连接AG，CG；
D，G，E三点共线；
∴$\overrightarrow{DG}=λ\overrightarrow{DE}$；
∴$\overrightarrow{CG}-\overrightarrow{CD}=λ（\overrightarrow{CE}-\overrightarrow{CD}）$；
∴$\overrightarrow{CG}=（1-λ）\overrightarrow{CD}+\frac{λ}{2}\overrightarrow{CB}$①；
同理，由B，G，F三点共线得$\overrightarrow{CG}=（1-μ）\overrightarrow{CB}+\frac{μ}{2}\overrightarrow{CD}$②；
∴由①②得，$\left\{\begin{array}{l}{1-λ=\frac{μ}{2}}\\{\frac{λ}{2}=1-μ}\end{array}\right.$；
解得$\left\{\begin{array}{l}{λ=\frac{2}{3}}\\{μ=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$；
∴$\overrightarrow{CG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DG}=\overrightarrow{AD}+\frac{2}{3}\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{b}+\frac{2}{3}（\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}）=\frac{2}{3}（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）=-\frac{2}{3}\overrightarrow{CA}$；
∴$\overrightarrow{AG}=-2\overrightarrow{CG}$；
∴$\overrightarrow{AG}，\overrightarrow{CG}$共线；
∴A，G，C三点共线．

点评 考查向量加法、减法，及数乘的几何意义，平面向量基本定理，以及共线向量基本定理．