Question

20．已知直线1在直角坐标系xOy中的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+tcoaα\\ y=1+tsinα\end{array}\right.$（t为参数，α为倾斜角），曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ（其中坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴．取相同单位长度）．
（1）写出曲线C的直角坐标方程；
（2）若曲线C与直线l相交于不同的两点M，N，设P（2，1），求|PM|+|PN|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由曲线C的极坐标方程为ρ²=2ρcosθ，能求出曲线C的直角坐标方程．
（2）把直线1的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcoaα}\\{y=1+tsinα}\end{array}\right.$代入（x-1）²+y²=1，得t²+2t（cosα+sinα）+1=0，由此利用根的判别式、韦达定理，能求出|PM|+|PN|的取值范围．

解答 解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，
∴ρ²=2ρcosθ，
∴曲线C的直角坐标方程为x²+y²=2x，
即（x-1）²+y²=1．
（2）把直线1在直角坐标系xOy中的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcoaα}\\{y=1+tsinα}\end{array}\right.$，
代入（x-1）²+y²=1，
得（1+tcosα）²+（1+tsinα）²=t²+2t（cosα+sinα）+1=0，
由△=4（cosα+sinα）²-4＞0，得sinαcosα＞0，又0≤θ＜π，∴$α∈（0，\frac{π}{2}）$，
∴t₁+t₂=-2（sinα+cosα），t₁t₂=1，
∴|PM|+|PN|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|=2（sinα+cosα）=2$\sqrt{2}$sin（$α+\frac{π}{4}$），
∵$α∈（0，\frac{π}{2}）$，∴$α+\frac{π}{4}$$∈（\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}）$，∴sin（$α+\frac{π}{4}$）∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
∴|PM|+|PN|的取值范围是（2，2$\sqrt{2}$]．

点评 本题主要考查线段和取值范围的求法，考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，解题时要注意韦达定理、三角函数性质的应用，属于中档题．