Question

10．已知函数y=f（x+1）的图象关于y轴对称，且函数f（x）在（1，+∞）上单调，若数列{a_n}是公差不为0的等差数列，且f（a₆）=f（a₂₀），则{a_n}的前25项之和为（　　）

• A． 0
• B． $\frac{25}{2}$
• C． 25
• D． 50

Answer 1

分析 由函数y=f（x+1）的图象关于y轴对称，平移可得y=f（x）的图象关于x=1对称，由题意可得a₆+a₂₀=2，运用等差数列的性质和求和公式，计算即可得到所求和．

解答 解：函数y=f（x+1）的图象关于y轴对称，且函数f（x）在（1，+∞）上单调，
可得y=f（x）的图象关于x=1对称，
由数列{a_n}是公差不为0的等差数列，且f（a₆）=f（a₂₀），
可得a₆+a₂₀=2，又{a_n}是等差数列，
所以a₁+a₂₅=a₆+a₂₀=2，
可得数列的前25项和${S_{25}}=\frac{{（{a_1}+{a_{25}}）×25}}{2}=25$，
所以数列的前25项和为25．
故选：C．

点评 本题考查函数的对称性及应用，考查等差数列的性质，以及求和公式，考查运算能力，属于中档题．