Question

14．以$F（0，\frac{p}{2}）（p＞0）$为焦点的抛物线C的准线与双曲线x²-y²=2相交于M，N两点，若△MNF为正三角形，则抛物线C的方程为（　　）

• A． ${y^2}=2\sqrt{6}x$
• B． ${y^2}=4\sqrt{6}x$
• C． ${x^2}=2\sqrt{6}y$
• D． ${x^2}=4\sqrt{6}y$

Answer 1

分析 由题意，y=$\frac{p}{2}$代入双曲线x²-y²=2，可得x=±$\sqrt{2+\frac{{p}^{2}}{4}}$，利用△MNF为正三角形，求出p，即可求出抛物线的方程．

解答 解：由题意，y=$\frac{p}{2}$代入双曲线x²-y²=2，可得x=±$\sqrt{2+\frac{{p}^{2}}{4}}$，
∵△MNF为正三角形，
∴p=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2$\sqrt{2+\frac{{p}^{2}}{4}}$，
∵p＞0，∴p=2$\sqrt{6}$，
∴抛物线C的方程为x²=4$\sqrt{6}$y，
故选：D．

点评 本题考查抛物线的简单性质，双曲线方程的应用，考查分析问题解决问题的能力以及计算能力．