Question

16．给出下列命题：
①设抛物线y²=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围为[-1，1]；
②A，B是抛物y²=2px（p＞0）上的两点，且OA⊥OB，则A、B两点的横坐标之积$\frac{p^2}{4}$；
③斜率为1的直线l与椭圆$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$相交于A、B两点，则|AB|的最大值为$\frac{{4\sqrt{10}}}{5}$．
把你认为正确的命题的序号填在横线上①③．

Answer 1

分析 求出满足条件的斜率的范围，可判断①；根据向量垂直的充要条件，求出A、B两点的横坐标之积，可判断②；求出|AB|的最大值，可判断③．

解答 解：∵Q点为抛物线y²=8x的准线与x轴的交点，
∴Q点坐标为（-2，0）
∴设过Q（-2，0）的直线方程为y=k（x+2），即x=$\frac{y}{k}$-2
代入线y²=8x，化简得，y²-$\frac{8y}{k}$+16=0
若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则△≥0，
即$\frac{64}{{k}^{2}}$-64≥0，解得：k∈[-1，1]，故①正确；
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y₁²=2px₁，y₂²=2px²，
∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0，x₁x₂=-y₁y₂，
则y₁²•y₂²=4p²•x₁•x₂=-4p²•y₁•y₂，
∴y₁•y₂=-4p²，从而x₁•x₂=4p²；故②错误；
斜率为1的直线l与椭圆$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$相交于A、B两点，则AB过原点时，|AB|的最大值，
此时y=x，联立椭圆方程可得交点坐标为：（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）和：（-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$），
则|AB|=$\frac{{4\sqrt{10}}}{5}$．故③正确；
故答案为：①③

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了抛物线，椭圆的简单性质，向量垂直的充要条件，弦长公式等知识点是，难度中档．