Question

在正项等比数列{a_n}中，公比q∈（0，1），且满足a₃=2，a₁a₃+2a₂a₄+a₃a₅=25．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₂a_n，数列{b_n}的前n项和为S_n，当

S1

1

+

S2

2

+…+

Sn

n

取最大值时，求n的值．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得

a1q2=2 a1q+a1q3=5

，由此能求出an=8×(

1

2

)n-1．
（2）b_n=log₂a_n=log2[8×(

1

2

)n-1]=3+1-n=4-n，S_n=4n-（1+2+3+…+n）=

7n-n2

2

，从而

Sn

n

=

7

2

-

n

2

，由此能求出n=6或7时，

S1

1

+

S2

2

+…+

Sn

n

取最大值10.5．

解答： 解：（1）正项等比数列{a_n}中，公比q∈（0，1），
且满足a₃=2，a₁a₃+2a₂a₄+a₃a₅=25，
∴a₂+a₄=5，
∴

a1q2=2 a1q+a1q3=5

，
解得q=

1

2

，a₁=8，或q=2，a₁=

1

2

（舍），
∴an=8×(

1

2

)n-1．
（2）b_n=log₂a_n=log2[8×(

1

2

)n-1]=3+1-n=4-n，
∴S_n=4n-（1+2+3+…+n）
=4n-

n(n+1)

2

=

7n-n2

2

，
∴

Sn

n

=

7

2

-

n

2

，
∴

S1

1

+

S2

2

+…+

Sn

n

=

7

2

n-

1

2

(1+2+3+…+n)
=

7

2

n-

n(n+1)

4

=

13n-n2

4

=-

1

4

(n-

13

2

)2+

169

16

，
∴n=6或7时，

S1

1

+

S2

2

+…+

Sn

n

取最大值10.5．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查当数列的前n项和最大时项数n的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．