Question

11．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AE=$\frac{1}{2}$AD=1，PA=2．
（1）证明：平面PAB⊥平面PBD；
（ 2 ）求三棱锥E-PDC的体积．

Answer 1

分析 （1）由PA⊥AB，PA⊥CD可得PA⊥平面ABCD，故PA⊥BD，利用勾股定理的逆定理得出AB⊥BD，故BD⊥平面PAB，于是平面PAB⊥平面PBD；
（2）V_E-PDC=V_P-CDE=$\frac{1}{3}$S_△CDE•PA．

解答 证明：（1）∵PA⊥CD，∠PAB=90°，AB与CD相交，
∴PA⊥平面ABCD，
∵BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD，
由AE=$\frac{1}{2}$AD=1，则ED=$\frac{1}{2}$AD=1，
∴ED=BC=CD=1，又∠ADC=90°，∴∠BAD=∠BDA=45°，
∴∠ABD=90°，∴BD⊥AB，
又∵PA∩AB=A，PA?平面PAB，AB?平面PAB，
∴BD⊥平面PAB，又BD?平面PBD，
∴平面PAB⊥平面PBD．
（2）V_E-PDC=V_P-CDE=$\frac{1}{3}$S_△CDE•PA=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×2$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直，面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．