Question

6．已知数列{a_n}的前n项和为S_n（n∈N*），且满足a_n+S_n=2n+1．
（1）求证：数列{a_n-2}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{n（a_n-2）}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系、等比数列的定义即可得出．
（2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 （1）证明：∵a_n+S_n=2n+1，令n=1，
得2a₁=3，${a_1}=\frac{3}{2}$，∵a_n+S_n=2n+1，∴a_n-1+S_n-1=2（n-1）+1，（n≥2，n∈N*），
两式相减，得2a_n-a_n-1=2，整理${a_n}=\frac{1}{2}{a_{n-1}}+1$，${a_n}-2=\frac{1}{2}（{a_{n-1}}-2），（{n≥2}）$，
∴数列{a_n-2}是首项为${a_1}-2=-\frac{1}{2}$，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，
∴${a_n}-2=-{（{\frac{1}{2}}）^n}$，∴${a_n}=2-\frac{1}{2^n}$．
（2）解：设数列{n（a_n-2）}的前n项和为T_n，
则$-{T_n}=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+…+\frac{n-1}{{{2^{n-1}}}}+\frac{n}{2^n}$①，
∴$-2{T_n}=1+\frac{2}{2}+\frac{3}{2^2}+…+\frac{n-1}{{{2^{n-2}}}}+\frac{n}{{{2^{n-1}}}}$②，
②-①得$-{T_n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+…+\frac{1}{{{2^{n-1}}}}-\frac{n}{2^n}$，
即$-{T_n}=\frac{{1-\frac{1}{2^n}}}{{1-\frac{1}{2}}}-\frac{n}{2^n}=2-\frac{n+2}{2^n}$，∴${T_n}=\frac{n+2}{2^n}-2$．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的定义通项公式及其求和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．