Question

1．已知函数f（x）=alog₂x+blog₃x+2，解决下列问题：
（1）求f（1）的值；
（2 ）求$f（x）+f（{\frac{1}{x}}）$的值；
（3）计算：$f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）+f（{\frac{1}{2}}）+f（{\frac{1}{3}}）+…+f（{\frac{1}{2013}}）$的值．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=alog₂x+blog₃x+2，利用函数性质能求出f（1）．
（2 ）利用对数性质及运算法则能求出$f（x）+f（{\frac{1}{x}}）$．
（3）由$f（x）+f（{\frac{1}{x}}）$=4，能求出$f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）+f（{\frac{1}{2}}）+f（{\frac{1}{3}}）+…+f（{\frac{1}{2013}}）$的值．

解答 解：（1）∵f（x）=alog₂x+blog₃x+2，
∴f（1）=alog₂1+blog₃1+2=2．
（2 ）$f（x）+f（{\frac{1}{x}}）$=$alo{g}_{2}x+blo{g}_{3}x+2+alo{g}_{2}\frac{1}{x}+blo{g}_{3}\frac{1}{x}+2$=4．
（3）∵$f（x）+f（{\frac{1}{x}}）$=4，
∴$f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）+f（{\frac{1}{2}}）+f（{\frac{1}{3}}）+…+f（{\frac{1}{2013}}）$
=2012×4+f（1）
=8048+2
=8050．

点评 本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．