Question

7．已知函数f（x）=ax²-$\frac{4}{x}$，其中a为常数
（1）根据a的不同值，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）若a∈（-2，-1），判断函数f（x）在（$\frac{1}{2}$，1）上的单调性，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，利用奇偶函数定义判断．
（2）求解导数f′（x）=2ax$+\frac{4}{{X}^{2}}$=$\frac{2a{x}^{3}+4}{{x}^{2}}$，讨论得出当f′（x）≥0时，x≤$\root{3}{-\frac{2}{a}}$，当f′（x）≤0时，x≥$\root{3}{-\frac{2}{a}}$，根据a∈（-2，-1），判断$-\frac{2}{a}$∈（1，2），得出导数的符号即可．

解答 解：（1）函数f（x）=ax²-$\frac{4}{x}$，其中a为常数，
①当a=0时，f（x）=-$\frac{4}{x}$是奇函数，
∵f（-x）=-$\frac{4}{-x}$=$\frac{4}{x}$=-f（-x）
∴当a=0时，f（x）=-$\frac{4}{x}$是奇函数，
②∵当a≠0时，f（x）=-$\frac{4}{x}$是非奇非偶函数，
f（-x）≠-f（-x），f（-x）≠f（-x）
∴当a≠0时，f（x）=-$\frac{4}{x}$是非奇非偶函数，
（2）∵函数f（x）在（$\frac{1}{2}$，1）上的单调性，
∴f′（x）=2ax$+\frac{4}{{X}^{2}}$=$\frac{2a{x}^{3}+4}{{x}^{2}}$，
当f′（x）≥0时，x≤$\root{3}{-\frac{2}{a}}$，当f′（x）≤0时，x≥$\root{3}{-\frac{2}{a}}$，
∵a∈（-2，-1），∴$-\frac{2}{a}$∈（1，2），
∴$\root{3}{-\frac{2}{a}}$＞1，
在（$\frac{1}{2}$，1）上f′（x）＞0，
∴函数f（x）在（$\frac{1}{2}$，1）上的单调递增函数．

点评 本题综合考查了函数性质，导数在解决函数综合问题中的运用，属于中档题，关键单调与导数的关系．