Question

6．如图所示，△ABC中，AC=1，AB=2，∠ACB=$\frac{π}{2}$，P为AB的中点，且△ABC与正方形BCDE所在平面互相垂直．
（1）求证：AD∥平面PCE；
（2）求二面角P-CE-B的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设BD∩CE=0，连结OP，则OP∥AD，由此能证明AD∥平面PCE；
（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P-CE-B的余弦值．

解答 解：（1）证明：设BD∩CE=0，连结OP，
∵正方形BCDE对角线互相平分，∴O是BD中点，
∵P为AB的中点，∴OP∥AD，
∵AD?平面PCE，OP?平面PCE，
∴AD∥平面PCE；
（2）∵△ABC中，AC=1，AB=2，∠ACB=$\frac{π}{2}$，
P为AB的中点，且△ABC与正方形BCDE所在平面互相垂直，
∴CD⊥平面ABC，
以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CD为z轴，
建立空间直角坐标系，
C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，2，0），
P（$\frac{1}{2}，1，0$），E（0，2，2），
$\overrightarrow{CP}$=（$\frac{1}{2}，1，0$），$\overrightarrow{CE}$=（0，2，2），
设平面PCE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CP}=\frac{1}{2}x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=2y+2z=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{n}$=（2，-2，2），
平面BCE的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
设二面角P-CE-B的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{12}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴二面角P-CE-B的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．