Question

3．在数列{a_n}中，a₁=3，2a₁+3a₂+…+na_n-1=（n+1）a_n（n∈N^*，n≥2）
（Ⅰ）计算a₂，a₃的值，并求数列{a_n}的通项a_n；
（Ⅱ）若存在n∈N^*，且n≥2，使得$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}•λ}$≥$\frac{3n}{n-1}$成立，求正实数λ的最大值．

Answer 1

分析 （1）由递推公式求出a₂，a₃的值，由作差法得到$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{2（n+1）}{n+2}$，再根据累乘法求出数列的通项公式，
（Ⅱ）由题意存在n∈N^*，且n≥2，使得$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}•λ}$≥$\frac{3n}{n-1}$成立，转化为存在n∈N^*，且n≥2，使λ≤$\frac{n-1}{2n（n+1）}$成立，设b_n=$\frac{n-1}{2n（n+1）}$，n≥2，判断出数列的单调性，求出数列的最大值，即可求出λ的范围，问题得以解决．

解答 解：（Ⅰ）由2a₁+3a₂+…+na_n-1=（n+1）a_n，
当n=2时，得到2a₁=3a₂，即a₂=2，
当n=3时，得到2a₁+3a₂=4a₃，即a₃=3，
∵2a₁+3a₂+…+na_n-1=（n+1）a_n，①，
∴2a₁+3a₂+…+na_n-1+（n+1）a_n=（n+2）a_n+1，②，
②-①，得
（n+1）a_n=（n+2）a_n+1-（n+1）a_n，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{2（n+1）}{n+2}$
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$×$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$×$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$×…×$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=2^n-2×（$\frac{2}{3}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{4}{5}$×…×$\frac{n}{n+1}$）=$\frac{{2}^{n-1}}{n+1}$，
∴a_n=3×$\frac{{2}^{n-1}}{n+1}$，
当n=1时，a₁不成立，
故a_n=$\left\{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{3×\frac{{2}^{n-1}}{n+1}，n≥2}\end{array}\right.$
（Ⅱ）存在n∈N^*，且n≥2，使得$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}•λ}$≥$\frac{3n}{n-1}$成立，
∴$\frac{3×\frac{{2}^{n-1}}{n+1}}{{2}^{n}•λ}$≥$\frac{3n}{n-1}$，
即λ≤$\frac{n-1}{2n（n+1）}$，
设b_n=$\frac{n-1}{2n（n+1）}$，n≥2，
则b_n+1-b_n=$\frac{n}{2（n+1）（n+2）}$-$\frac{n-1}{2n（n+1）}$=$\frac{2-n}{2n（n+1）（n+2）}$，
当n≥2时，数列{b_n}为递减数列，
故当n=2时，b_n有最大值，即为b₂=$\frac{1}{12}$，
∴λ≤$\frac{1}{12}$，
故正实数λ的最大值为$\frac{1}{12}$

点评 本题考查了数列的递推公式和数列的通项公式的求法，以及存在性的问题，考查了作差法累乘法，属于中档题．