Question

19．已知点A（-$\sqrt{2}$，0）和圆B：（x-$\sqrt{2}$）²+y²=16，点Q在圆B上，线段AQ的垂直平分线角BQ于点P．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）轨迹C上是否存在直线2x+y+1=0对称的两点，若存在，设这两个点分别为S，T，求直线ST的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接由题意可得|PA|+|PB||=4＞|AB|=2$\sqrt{2}$，符合椭圆定义，且得到长半轴和半焦距，再由b²=a²-c²求得b²，则点P的轨迹方程可求；
（2）设S（x₁，y₁），T（x₂，y₂），由题意可设直线ST的方程为y=$\frac{1}{2}$x+m，与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用线段ST的中点（-$\frac{2}{3}$m，$\frac{2}{3}$m）在对称轴2x+y+1=0上，即可得出结论．

解答 解：（1）由题意知|PQ|=|PA|，
∴|PA|+|PB||=4＞|AB|=2$\sqrt{2}$
由椭圆定义知P点的轨迹是以A，B为焦点椭圆，a=2，c=$\sqrt{2}$
∴b=$\sqrt{2}$，
∴点P的轨迹的方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）设存在直线ST的方程为y=$\frac{1}{2}$x+m，与椭圆方程联立，化简可得3x²+4mx+4m²-8=0．
S（x₁，y₁），T（x₂，y₂），则x₁+x₂=-$\frac{4}{3}$，x₁x₂=$\frac{4（{m}^{2}-2）}{3}$，
∵线段ST的中点（-$\frac{2}{3}$m，$\frac{2}{3}$m）在对称轴2x+y+1=0上，
∴-$\frac{4}{3}$m+$\frac{2}{3}$m+1=0，
∴m=$\frac{3}{2}$，满足△＞0，
∴存在直线ST的方程为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$．

点评 本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、椭圆的方程联立可得根与系数的关系，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．