Question

已知直角梯形ABCD的下底与等腰三角形ABE的斜边重合，AB⊥BC且AB=2CD=2BC（如图1），将此图形沿AB折叠成直二面角，连结EC、ED，得到四棱锥E-ABCD（如图2）
（1）线段EA上是否存在点F，使得EC∥平面FBD？若存在，求出

EF

FA

；若不存在，说明理由．
（2）在（1）的条件下，求平面ABE与平面FBD的夹角的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定

专题：空间角

分析：（1）取AB中点O，连结OD、OE，以O为原点，OD，OA，OE为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出存在点F，且

EF

EA

=

1

3

时，有EC∥平面FBD．
（2）平面ABE的法向量

m

=(1，0，0)，平面EBD的法向量

n

=（3，-3，6），由此利用向量法能求出平面ABE与平面FBD的夹角的余弦值．

解答： 解：（1）取AB中点O，连结OD、OE，设AB=2，
∵直角梯形ABCD的下底与等腰三角形ABE的斜边重合，AB⊥BC且AB=2CD=2BC，
将此图形沿AB折叠成直二面角，连结EC、ED，得到四棱锥E-ABCD，
∴EO⊥平面ABCD，OD⊥AB，OB=OA=OE=OD=1，
以O为原点，OD，OA，OE为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则E（0，0，1），A=（0，1，0），B（0，-1，0），D（1，0，0），C（1，-1，0），
∴

EA

=(0，1，-1).

BD

=(1，1，0)，

EC

=(1，-1，-1)，
存在点F，且

EF

EA

=

1

3

时，有EC∥平面FBD．
证明如下：∵

EF

=

1

3

EA

=(0，

1

3

，-

1

3

)，∴F（0，

1

3

，

2

3

），∴

FB

=(0，-

4

3

，-

2

3

)，
设平面FBD的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • BD =x+y=0 n • FB =- 4 3 y- 2 3 z=0

，
取x=3，得

n

=(3，-3，6)，
∵

n

•

EC

=3+3-6=0，且EC?平面FBD，
∴EC∥平面FBD．
∴存在点F，且

EF

EA

=

1

3

时，有EC∥平面FBD．
（2）∵平面ABE的法向量

m

=(1，0，0)，
平面EBD的法向量

n

=（3，-3，6），
∴cos＜

n

，

m

＞=

3

3 6

=

6

6

，
∴平面ABE与平面FBD的夹角的余弦值为

6

6

．

点评：本题考查满足直线与平面平行的点是否存在的判断与求法，考查平面与平面的夹角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．