Question

为了帮助小型企业乙转型发展，大型国企甲将经营状况良好的某种消费品专卖批发店，以120万元的优惠价格转让给了企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证所有职工每月工资开支10万元，再逐步偿还转让费（不计息），在国企甲提供的资料中显示：①这种消费品的进价为每件20元；②该店月销量Q（千件）与销售价格x（元）的关系如图所示；③每月需水电房租等各种开支22000元．
（Ⅰ）求该店月销量Q（千件）与销售价格x（元）的函数关系式；
（Ⅱ）企业乙依靠该店，最早可望在多少月后能还清转让费？

Answer 1

考点：根据实际问题选择函数类型

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（I）根据每月销售量Q（千件）与销售价格x（元）的关系是一条折线，是一个分段函数，每段是一个一次函数，根据线段两端点可求出解析式；
（Ⅱ）分段求出函数的最大值，比较后可得答案．

解答： 解：（I）由图可得该函数一个分段函数，每段是一个一次函数
在[22，32]上，直线过点（22，32），（32，12），则Q=-2x+76；
在[32，36]上，直线过点（32，12），（36，6），则Q=-

3

2

x+60，
∴Q=

-2x+76，22≤x≤32 - 3 2 x+60，32≤x≤36

；
（Ⅱ）设企业销售消费品所产生的利润为y千元，则
22≤x≤32时，y=（-2x+76）（x-20）=-2（x²-58x+760），
∴x=29时，y_max=162（千元）；
32≤x≤36时，y=（-

3

2

x+60）（x-20）=-

3

2

（x²-60x+800），
∴x=32时，y_max=144（千元）；
∴x=29时，y_max=162（千元），
∴16200-100000-22000-40000=4（万元），
∴每月最大偿还为4万元，最早可望在30个月后能还清转让费．

点评：本题考查分段函数的应用，突出考查二次函数的最值，考查分类讨论思想与运算能力，属于难题．