Question

已知关于x不等式2x-a＜0的解集为A，不等式x²-（3+a）x+2（1+a）≥0的解集为B．
（Ⅰ）当a=-4时，求A∪B；
（Ⅱ）若A∩B=A，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法,并集及其运算,交集及其运算

专题：

分析：（I）由不等式2x-a＜0可得解集A=(-∞，

a

2

)．不等式x²-（3+a）x+2（1+a）≥0因式分解为（x-2）（x-1-a）≥0．
当a=-4时，A={x|x＜-2}，B={x|x≤-3或x≥2}．即可得出A∪B．
（II）由A∩B=A，可得A⊆B．对1+a与2的大小关系进行讨论即可得出．

解答： 解：（I）由不等式2x-a＜0解得x＜

a

2

．∴解集A=(-∞，

a

2

)．
不等式x²-（3+a）x+2（1+a）≥0化为（x-2）（x-1-a）≥0．
当a=-4时，A={x|x＜-2}，B={x|x≤-3或x≥2}．
∴A∪B={x|x＜-2或x≥2}．
（II）∵A∩B=A，∴A⊆B．
∵A=(-∞，

a

2

)．
当1+a＞2时，即a＞1时，B={x|x≤2或x≥1+a}，
∴

a

2

≤2，解得a≤4．∴1＜a≤4．
当1+a=2时，即a=1时，B=R．满足A⊆B，∴a=1．
当1+a＜2时，即a＜1时，B={x|x≤1+a或x≥2}，
∵A⊆B，∴1+a≥

a

2

，解得a≥-1，∴-2≤a＜1．
综上可得：-2≤a≤4．

点评：本题考查了一元二次不等式的解法、集合的运算关系等基础知识，考查了分类讨论思想方法，属于难题．