Question

以双曲线的一条焦半径为直径的圆与以实轴为直径的圆的位置关系为（　　）

• A、相交
• B、内切
• C、外切
• D、内切或外切

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用双曲线的定义，通过圆心距判断出当点P分别在左、右两支时，两圆相内切、外切．

解答： 解：设以实轴|F₁F₂|为直径的圆的圆心为O₁，其半径r₁=a，
线段PF₂为直径的圆的圆心为O₂，其半径为r₂=

|PF2|

2

，
当P在双曲线左支上时，|O₁O₂|=

|PF1|

2

，
∵r|O₁O₂|-r₂=

|PF2|

2

-

|PF1|

2

=a=r₁，
∴两圆内切．
当P在双曲线右支上时，
|O₁O₂|=

|PF1|

2

，
∵|O₁O₂|-r₂=

|PF1|

2

-

|PF2|

2

=a=r₁，
∴r₁+r₂=|O₁O₂|
∴两圆外切．
故选：D．

点评：本题考查直线和双曲线的位置关系，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易错点是容易只考虑P点在一个分支上而导致丢解，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．