Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx（a，b为常数，a≠0）的对称轴为直线x=-1，且方程f（x）+x=0有等根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在实数m，n（m＜n），使x∈[m，n]时，函数f（x）的最大值为3n、最小值为3m，如果存在，求出 m、n的值；如果不存在，说明理由．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：分类讨论,函数的性质及应用

分析：（1）由二次函数的性质以及一元二次方程的根与系数的关系得到a，b的方程解之；
（2）假设存在，讨论对称轴与m，n的关系，决定求值．

解答： 解：（1）∵二次函数f（x）=ax²+bx（a，b为常数，a≠0）的对称轴为直线x=-1，且方程f（x）+x=0有等根．
∴

b

2a

=1，由方程有两个相等实根，得△=（b+1）²-4a×0=0，
∴b=-1，a=-

1

2

故f（x）=-

1

2

x²-x；
（2）假设存在实数m、n满足条件，由（1）知，
f（x）=-

1

2

x²-x=-

1

2

（x+1）²+

1

2

≤

1

2

，则3n≤

1

2

，即n≤

1

6

，
∵f（x）=-

1

2

（x+1）²+

1

2

的对称轴为x=-1，
∴当n≤

1

6

时，
①当m＜n≤-1时，f（x）为增函数
∴f（m）=3m，f（n）=3n
 解得m₁=0，m₂=-8
 n₁=0，n₂=-8，
∵m＜n，∴m=-8，n=0；
 ②当m＜-1＜n时，
 函数f（-1）=-

1

2

+1=

1

2

=3n，解得n=

1

6

，
所以最小值为f（

1

2

）=3m，或者f（m）=3m，
解得m=-

1

12

＞-1（舍去），或者m=-8，m=0（舍去）；
 ③当-1≤m＜n≤

1

6

，f（m）=3n，f（n）=3m，
解得m+n=4，与-1≤m＜n≤

1

6

矛盾．
∴不存在-1≤m＜n≤

1

6

，
综上所述
m=-8，n=0或者m=-8，n=

1

6

．

点评：本题考查了二次函数的性质以及二次函数闭区间的最值问题，注意正确分类讨论对称轴与区间的关系．