题目内容
设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,其中a∈R.(1)若f(x)在x=3处取得极值,求常数a的值;
(2)若f(x)在(-∞,0)上为增函数,求a的取值范围.
分析：(1)f(x)在x=3处取得极值,则f′(3)=0,可求a的值.(2)f(x)在(-∞,0)上为增函数,需f′(x)在(-∞,0)上非负,可求a的取值范围.
解：(1)f′(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-a)(x-1).
因f(x)在x=3处取得极值,
所以f′(3)=6(3-a)(3-1)=0,解得a=3.
经检验知a=3时,x=3为f(x)的极值点.
(2)令f′(x)=6(x-a)(x-1)=0,得x1=a,x2=1.
当a＜1时,若x∈(-∞,a)∪(1,+∞),则f′(x)＞0,
所以f(x)在(-∞,a)和(1,+∞)上为增函数.
故当0≤a＜1时,f(x)在(-∞,0)上为增函数.
当a≥1时,若x∈(-∞,1)∪(a,+∞),则f′(x)＞0,
所以f(x)在(-∞,1)和(a,+∞)上为增函数.
从而f(x)在(-∞,0]上也是增函数.
综上可知,当a∈［0,+∞)时,f(x)在(-∞,0)上为增函数.
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