题目内容
设函数f(x)=
,点A0表示原点,点An=[n,f(n)](n∈N*).若向量
=
+
+…+
,θn是
与
的夹角[其中
=(1,0)],设Sn=tanθ1+tanθ2+…+tanθn,则
Sn=
.
| ||
x+2 |
an |
A0A1 |
A1A2 |
An-1An |
an |
i |
i |
lim |
n→∞ |
3 |
4 |
2 |
3 |
4 |
2 |
分析:利用向量求和知识向量化简为=
An,利用向量夹角概念可得tanθn=
=
,再利用数列裂项相消求和知识及极限运算法则可得解.
. |
A0 |
f(n) |
n |
| ||
n×(n+2) |
解答:解:由向量求和知
=
+
+
+…+
=
An
∵函数 f(x)=
,点A0表示原点,点An(n,f(n))(n∈N*),θn是向量
与向量
=(1,0)的夹角,
∴tanθn=
=
=
(
-
),
∴Sn=tanθ1+tanθ2+tanθ3+…+tanθn=
(1+
-
-
)
∴
Sn=
故答案为
.
an |
A0A1 |
A1A2 |
A2A3 |
An-1An |
. |
A0 |
∵函数 f(x)=
| ||
x+2 |
a |
i |
∴tanθn=
f(n) |
n |
| ||
n×(n+2) |
| ||
2 |
1 |
n |
1 |
n+2 |
∴Sn=tanθ1+tanθ2+tanθ3+…+tanθn=
| ||
2 |
1 |
2 |
1 |
n+1 |
1 |
n+2 |
∴
lim |
n→∞ |
3
| ||
4 |
故答案为
3 |
4 |
2 |
点评:本题的考点是数列的极限,主要考查向量与极限结合的综合.涉及向量运算的多边形法则及向量夹角概念.考查数列求和的裂项相消方法及极限运算法则,有一定的综合性.
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