题目内容

设函数f(x)=
2x+1x2+2

(Ⅰ)求f(x)的单调区间和极值;
(Ⅱ)若对一切x∈R,-3≤af(x)+b≤3,求a-b的最大值.
分析:(Ⅰ)先确定函数的定义域然后求导数fˊ(x),在函数的定义域内解不等式fˊ(x)>0和fˊ(x)<0,求出单调区间,根据单调性的变换情况求出极值;
(Ⅱ)先求出f(x)的取值范围,求出f(x)的最值,因此对一切x∈R,-3≤af(x)+b≤3的充要条件是
-3≤-
1
2
a+b≤3
-3≤a+b≤3
,得到约束条件,由线性规划得a-b的最大值即可.
解答:解:(Ⅰ)f(x)=
-2(x+2)(x-1)
(x2+2)2

当x∈(-2,1)时,f′(x)>0;
当x∈(-∞,-2)∪(1,+∞)时,f′(x)>0.
故f(x)在(-2,1)单调增加,在(-∞,-2),(1,+∞)单调减少.
f(x)的极小值f(-2)=-
1
2
,极大值f(1)=1.
(Ⅱ)由(f(x)+
1
2
)(f(x)-1)=
-(x+2)2(x-1)2
2(x2+2)2
(f(x)+
1
2
)(f(x)-1)≤0

-
1
2
≤f(x)≤1

由此及(Ⅰ)知f(x)的最大值为1,最小值为-
1
2

因此对一切x∈R,-3≤af(x)+b≤3的充要条件是
-3≤-
1
2
a+b≤3
-3≤a+b≤3

即a,b满足约束条件
a+b≥-3
a+b≤3
-
1
2
a+b≥-3
-
1
2
a+b≤3.

由线性规划得,a-b的最大值为5.
点评:本题主要考查了利用导数研究函数的单调性,以及利用导数研究函数的极值和简单线性规划等有关知识,属于基础题.
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