Question

2．已知函数$f（x）=cosx-cos（x+\frac{π}{2}），x∈R$
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的最大值和最小值，以及取得最大值和最小值时x的值．

Answer 1

分析 （1）利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性得出结论．
（2）利用正弦函数的最值，求得f（x）的最大值和最小值，以及取得最大值和最小值时x的值．

解答 解：（1）函数f（x）=cosx-cos（x+$\frac{π}{2}$）=cosx+sinx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$ ），
∴f（x）的最小正周期为$\frac{2π}{1}$=2π．
（2）对于f（x）=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$ ），当x+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，即x=2kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z时，函数f（x）取得最大值为$\sqrt{2}$；
当x+$\frac{π}{4}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，即x=2kπ-$\frac{3π}{4}$，k∈Z时，函数f（x）取得最小值为-$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的周期性，正弦函数的最值，属于基础题．