Question

定义在[-1，1]的函数f（x）满足下列两个条件：①任意的x∈[-1，1]，都有f（-x）=-f（x）；②任意的m，n∈[0，1]，当m≠n，都有

f(m)-f(n)

m-n

＜0，则不等式f（1-3x）＜f（x-1）的解集是（　　）

• A、[0，

  1

  2

  ）
• B、（

  1

  2

  ，

  2

  3

  ]
• C、[-1，

  1

  2

  ）
• D、[

  2

  3

  ，1]

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由①得到f（0）=0，f（x）是[-1，1]上的奇函数，由②得到f（x）在[0，1]上是递减函数，从而有f（x）在[-1，1]上是递减函数，再由单调性解不等式f（1-3x）＜f（x-1），注意定义域[-1，1]．

解答： 解：∵任意的x∈[-1，1]，都有f（-x）=-f（x），
∴f（0）=0，f（x）是[-1，1]上的奇函数，
∵任意的m，n∈[0，1]，当m≠n，都有

f(m)-f(n)

m-n

＜0，
∴f（x）在[0，1]上是递减函数，
∴f（x）在[-1，0]上也是递减函数，
即f（x）在[-1，1]上是递减函数，
∴不等式f（1-3x）＜f（x-1）?

-1≤1-3x≤1 -1≤x-1≤1 1-3x＞x-1

即

0≤x≤ 2 3 0≤x≤2 x＜ 1 2

∴0≤x＜

1

2

，
故解集为[0，

1

2

）．
故选：A．

点评：本题考查抽象函数及运用，考查函数的奇偶性和单调性及应用，注意函数的定义域，属于基础题．