Question

14．若函数f（x）满足：在定义域D内存在实数x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立，则称函数f（x）为“1的饱和函数”．给出下列四个函数：①f（x）=$\frac{1}{x}$；②f（x）=2^x；③f（x）=lg（x²+2）；④f（x）=cos（πx）．其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号为（　　）

• A． ①③
• B． ②④
• C． ①②
• D． ③④

Answer 1

分析 利用“1的饱和函数”的概念对所给的四个函数分别验证，能求出结果．

解答 解：对于①，若存在实数x₀，满足f（x₀+1）=f（x₀）+f（1），
则$\frac{1}{{x}_{0}+1}=\frac{1}{{x}_{0}}+1$，所以${{x}_{0}}^{2}+{x}_{0}+1=0，（{x}_{0}≠0，且{x}_{0}≠1）$，
该方程无实根，因此①不是“1的饱和函数”；
对于②，若存在实数x₀，满足f（x₀+1）=f（x₀）+f（1），
则${2}^{{x}_{0}+1}={2}^{{x}_{0}}+2$，解得x₀=1，因此②是“1的饱和函数”；
对于③，若存在实数x₀，满足f（x₀+1）=f（x₀）+f（1），
则$lg[（{x}_{0}+1）^{2}+2]=lg（{{x}_{0}}^{2}+2）+lg（{1}^{2}+2）$，
化简得$2{{x}_{0}}^{2}-2{x}_{0}+3$=0，该方程无实根，因此③不是“1的饱和函数”；
对于④，注意到$f（\frac{1}{3}+1）=cos\frac{4π}{3}=-\frac{1}{2}$，f（$\frac{1}{3}$）+f（1）=$cos\frac{π}{3}+cosπ=-\frac{1}{2}$，
即f（$\frac{1}{3}+1$）=f（$\frac{1}{3}$）+f（1），
因此是“1的饱和函数”，
综上可知，其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号是②④．
故选：B．

点评 本题考查“1的饱和函数”的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．